Giải bài 3 trang 102

Đề bài

Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng $60^{\circ}$ . Tìm độ dài của các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}; \vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}; \vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quy tắc ba điểm $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$

Quy tắc hình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (với ABCD là hình bình hành);

Quy tắc hiệu: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$

Áp dụng các quy tắc trên để xác định vecto $\vec{p}, \vec{u}, \vec{v}$ rồi tính độ dài.

Lời giải chi tiết

+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

$\Rightarrow | \vec{p} | = | \vec{A C} | = A C$

+) $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$

$\Rightarrow | \vec{u} | = | \vec{D B} | = D B$

+) $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + (\vec{A B} - \vec{A C}) = \vec{A B} + \vec{C B}$ $= \vec{A B} + \vec{D A} = \vec{D B}$

$\Rightarrow | \vec{v} | = | \vec{D B} | = D B$

+ Tính $A C, D B$

Tam giác ABD có $A B = A D = a, \hat{A} = 60^{o}$ nên nó là tam giác đều. Do đó DB = a.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có: $A O = A B . \sin B = a . \sin 60^{o} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A C = a \sqrt{3}$

Vậy $| \vec{p} | = a \sqrt{3}, | \vec{u} | = a, | \vec{v} | = a .$