Giải bài 3 trang 102 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Trong hình 9.22, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB

b) ΔAFH ∽ ΔAHC

c) ΔAFE ∽ ΔABC

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông và tam giác thường.

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuông AEH (vuông tại E) và AHB (vuông tại H) có $\hat{E A H} = \hat{H A B}$ (góc chung). Do đó $Δ A E H ∽ Δ A H B$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

b) Hai tam giác vuông AFH (vuông tại F) và AHC (vuông tại H) có $\hat{F A H} = \hat{H A C}$ (góc chung). Do đó $Δ A F H ∽ Δ A H C$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

c) Vì $Δ A E H ∽ Δ A H B$ nên $\frac{A E}{A C} = \frac{A E}{A H} . \frac{A H}{A C} = \frac{A H}{A B} . \frac{A H}{A C} = \frac{A H^{2}}{A B . A C}$ (1)

Vì $Δ A F H ∽ Δ A H C$ nên $\frac{A F}{A B} = \frac{A F}{A H} . \frac{A H}{A B} = \frac{A H}{A C} . \frac{A H}{A B} = \frac{A H^{2}}{A B . A C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ .

Hai tam giác AFE và ABC có $\hat{A}$ chung; $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ (Theo chứng minh trên).

Do đó $Δ A F E ∽ Δ A B C$ (c.g.c).