Giải bài 3 trang 109

Đề bài

Nhiệt độ không khí trung bình hằng năm tại hai trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn và Cà Mau từ năm 2006 đến năm 2022 được ghi lại như sau:

a) Hãy chia dữ liệu trên thành 4 nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $[26, 7; 27, 1)$ .

b) Hãy so sánh độ phân tán nhiệt độ không khí trung bình mỗi năm tại hai khu vực trên:

‒ theo khoảng biến thiên;

– theo khoảng tứ phân vị;

– theo phương sai.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = a_{m + 1} - a_{1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ $k$ được xác định như sau: $Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n_{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$

trong đó:

• $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu;

• $[u_{m}; u_{m + 1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $n_{m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $C = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{m - 1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(c_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} {(c_{2} - \bar{x})}^{2} + . . . + n_{k} {(c_{k} - \bar{x})}^{2}] \\ = \frac{1}{n} [n_{1} c_{1}^{2} + n_{2} c_{2}^{2} + . . . + n_{k} c_{k}^{2}] - {\bar{x}}^{2} \end{array}$

Lời giải chi tiết

a) Bảng tần số ghép nhóm

b) • Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn là: $R_{Q N} = 28, 3 - 26, 7 = 1, 6 (^{\circ} C)$ .

Khoảng biển thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau là: $R_{C M} = 28, 3 - 27, 1 = 1, 2 (^{\circ} C)$ .

Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

• Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn:

Cỡ mẫu: $n_{Q N} = 3 + 9 + 4 + 1 = 17$

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{17}$ là mẫu số liệu gốc gồm nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{5} \in [27, 1; 27, 5)$ . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{Q N 1} = 27, 1 + \frac{\frac{1.17}{4} - 3}{9} (27, 5 - 27, 1) = \frac{1222}{45}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{13} \in [27, 5; 27, 9)$ . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{Q N 3} = 27, 5 + \frac{\frac{3.17}{4} - (3 + 9)}{4} (27, 9 - 27, 5) = \frac{1103}{40}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Δ Q_{Q N} = Q_{Q N 3} - Q_{Q N 1} = \frac{1103}{40} - \frac{1222}{45} \approx 0, 42$ (g).

Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau:

Cỡ mẫu: $n_{C M} = 17$

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{17}$ là mẫu số liệu gốc gồm nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{5} \in [27, 5; 27, 9)$ . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{C M 1} = 27, 5 + \frac{\frac{1.17}{4} - 1}{10} (27, 9 - 27, 5) = \frac{2763}{100}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{13} \in [27, 9; 28, 3)$ . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{Q N 3} = 27, 9 + \frac{\frac{3.17}{4} - (1 + 10)}{6} (28, 3 - 27, 9) = \frac{1681}{60}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Δ Q_{C M} = Q_{C M 3} - Q_{C M 1} = \frac{1681}{60} - \frac{2763}{100} \approx 0, 39 (^{\circ} C)$ .

Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x_{Q N}} = \frac{3.26, 9 + 9.27, 3 + 4.27, 7 + 1.28, 1}{17} = \frac{4653}{170}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$S_{Q N}^{2} = \frac{1}{17} ({3.26, 9}^{2} + {9.27, 3}^{2} + {4.27, 7}^{2} + {1.28, 1}^{2}) - {(\frac{4653}{170})}^{2} \approx 0, 099$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x_{C M}} = \frac{1.27, 3 + 10.27, 7 + 6.28, 1}{17} = \frac{4729}{170}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$S_{C M}^{2} = \frac{1}{17} ({1.27, 3}^{2} + {10.27, 7}^{2} + {6.28, 1}^{2}) - {(\frac{4729}{170})}^{2} \approx 0, 052$

Do $S_{Q N}^{2} > S_{C M}^{2}$ nên khi so sánh theo phương sai, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.