Giải bài 3 trang 115

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB.

Ta có: G là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC.

Mà G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác ABC hay $A M ⊥ B C; B N ⊥ A C; C P ⊥ A B$ .

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AM chung;

$\hat{A M B} = \hat{A M C} (= 90^{\circ}$ )(vì $A M ⊥ B C$ );

BM = MC (M là trung điểm của BC).

Vậy $Δ A B M = Δ A C M$ (c.g.c). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có:

$Δ B N A = Δ B N C$ (c.g.c). Suy ra: AB = BC( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều.