Giải bài 3 trang 115

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB.

Ta có: G là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC.

Mà G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác ABC hay $AM\perp BC;BN\perp AC;CP\perp AB$.

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

     AM chung;

     $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}(={90}^{\circ }$)(vì $AM\perp BC$);

     BM = MC (M là trung điểm của BC).

Vậy $\Delta ABM=\Delta ACM$(c.g.c). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có:

     $\Delta BNA=\Delta BNC$(c.g.c). Suy ra: AB = BC( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều.