Giải bài 3 trang 14

Đề bài

Cho phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ trong đó $\vec{u}=\left(3;5\right)$

a) Tìm ảnh của các điểm $A\left(-3;4\right),B\left(2;-7\right)$qua $T_{\vec{u}}$

b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua $T_{\vec{u}}$. Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng $d:4x-3y+7=0$ qua $T_{\vec{u}}$.

Lời giải chi tiết

a) Đặt $A^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)=T_{\vec{u}}\left(A\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ mà $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(x^{\prime }+3;y^{\prime }-4\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }+3=3\\ y^{\prime }-4=5\end{array}$

Vì vậy $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=0\\ y^{\prime }=9\end{array}$

Suy ra tọa độ A’(0; 9).

Đặt $B^{\prime }\left(x^{\prime \prime };y^{\prime \prime }\right)=T_{\vec{u}}\left(B\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{u}$ mà $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\left(x^{\prime \prime }-2;y^{\prime \prime }+7\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }-2=3\\ y^{\prime \prime }+7=5\end{array}$

Vì vậy $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }=5\\ y^{\prime \prime }=-2\end{array}$

Suy ra tọa độ B’(5; –2).

Vậy ảnh của các điểm A, B qua $T_{\vec{u}}$ lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).

b) Gọi $M(x_M;y_M).$

Theo đề, ta có $M^{\prime }=T_{\vec{u}}\left(M\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{u}$, mà $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(2-x_M;6-y_M\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}2-x_M=3\\ 6-y_M=5\end{array}$

Vì vậy $\{\begin{array}{c}{x}_M=-1\\ y_M=1\end{array}$

Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Chọn điểm $N\left(-1;1\right)\in d:4x-3y+7=0.$

Gọi $N^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ lần lượt là ảnh của N qua $T_{\vec{u}}$

Ta có $T_{\vec{u}}\left(N\right)=N^{\prime }$, suy ra $\overrightarrow{N{N}^{\prime }}=\vec{u}$ với $\overrightarrow{N{N}^{\prime }}=\left(x^{\prime }+1;y^{\prime }-1\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }+1=3\\ y^{\prime }-1=5\end{array}$

Vì vậy $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2\\ y^{\prime }=6\end{array}$

Suy ra tọa độ N’(2; 6).

Đường thẳng $d:4x-3y+7=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=\left(4;-3\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua $T_{\vec{u}}$ do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận ${\vec{n}}_d=\left(4;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có d’ là đường thẳng đi qua $M^{\prime }\left(2;6\right)$ và có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=\left(4;-3\right)$ nên có phương trình là:

$4\left(x-2\right)-3\left(y-6\right)=0\iff 4x-3y+10=0.$

Vậy ảnh của đường thẳng $d:4x-3y+7=0$ qua $T_{\vec{u}}$ là đường thẳng $d^{\prime }:4x-3y+10=0.$