Giải bài 3 trang 14

Tính các tích phân sau: a) (intlimits_1^3 {{e^{x - 2}}dx} ); b) (intlimits_0^1 {{{left( {{2^x} - 1} right)}^2}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx} ).

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{1}^{3} e^{x - 2} d x$ ;

b) $\int_{0}^{1} {(2^{x} - 1)}^{2} d x$ ;

c) $\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức:

• $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

• $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int_{1}^{3} e^{x - 2} d x = \int_{1}^{3} \frac{e^{x}}{e^{2}} d x = {\frac{e^{x}}{e^{2}} |}_{1}^{3} = \frac{e^{3}}{e^{2}} - \frac{e^{1}}{e^{2}} = e - \frac{1}{e}$ .

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} {(2^{x} - 1)}^{2} d x = \int_{0}^{1} (2^{2 x} - {2.2}^{x} + 1) d x = \int_{0}^{1} (4^{x} - {2.2}^{x} + 1) d x = {(\frac{4^{x}}{\ln 4} - 2. \frac{2^{x}}{\ln 2} + x) |}_{0}^{1} \\ = (\frac{4^{1}}{\ln 4} - 2. \frac{2^{1}}{\ln 2} + 1) - (\frac{4^{0}}{\ln 4} - 2. \frac{2^{0}}{\ln 2} + 1) = 1 - \frac{1}{2 \ln 2} \end{array}$

c) $\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 1)}{e^{x} + 1} d x = \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = {(e^{x} - x) |}_{0}^{1} = (e^{1} - 1) - (e^{0} - 0) = e - 2$ .