Giải bài 3 trang 17

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x-3}$ trên nửa khoảng $\left(3;4\right]$;

b) $y=\frac{3x+7}{2x-5}$ trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$;

c) $y=\frac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$ trên nửa khoảng $\left(3;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{7}{{\left(x-3\right)}^2}<0,\forall x\in \left(3;4\right]$

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left(3;4\right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(3;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(4\right)=9$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left(3;4\right]$.

b) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{3x+7}{2x-5}$ trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{29}{{\left(2x-5\right)}^2}<0,\forall x\in \left[-5;\frac{5}{2}\right)$

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left[-5;\frac{5}{2}\right)}{max}f\left(x\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{8}{15}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$.

c) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}>0,\forall x\in \left[0;4\right]$

$f\left(0\right)=2;f\left(4\right)=\frac{14}{5}$

Vậy $\underset{\left[0;4\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(4\right)=\frac{14}{5},\underset{\left[0;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=2$.