Giải bài 3 trang 20

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là bé nhất?

Lời giải chi tiết

Diện tích phần mặt nước là: $\left(a-2-1\right)\left(b-1-1\right)=\left(a-3\right)\left(b-2\right)$ với $a>3,b>2$.

Do phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² nên ta có:

$\left(a-3\right)\left(b-2\right)=54\iff b-2=\frac{54}{a-3}\iff b=\frac{54}{a-3}+2$

Diện tích bể là: $ab=a.\left(\frac{54}{a-3}+2\right)=\frac{54a}{a-3}+2a$.

Diện tích phần đường đi xung quanh là: $S=\frac{54a}{a-3}+2a-54=\frac{162}{a-3}+2a$.

Xét hàm số $S\left(a\right)=\frac{162}{a-3}+2a$ trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Ta có: $S^{\prime }\left(a\right)=-\frac{162}{{\left(a-3\right)}^2}+2$

$S^{\prime }\left(a\right)=0\iff -\frac{162}{{\left(a-3\right)}^2}+2=0\iff {\left(a-3\right)}^2=81\iff a=12$ hoặc $a=-6$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(3;+\infty \right)}{min}f\left(x\right)=f\left(12\right)=42$.

Vậy diện tích phần đường đi $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=12\left(m\right)$ và $b=\frac{54}{12-3}+2=8\left(m\right)$.