Giải bài 3 trang 22

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) (y = 2{rm{x}} + 1 + frac{1}{{x - 3}}); b) (y = frac{{ - 3{{rm{x}}^2} + 16{rm{x}} - 3}}{{x - 5}}); c) (y = frac{{ - 6{x^2} + 7{rm{x}} + 1}}{{3{rm{x}} + 1}}).

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y = 2 x + 1 + \frac{1}{x - 3}$ ;

b) $y = \frac{- 3 x^{2} + 16 x - 3}{x - 5}$ ;

c) $y = \frac{- 6 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = a x + b (a \neq 0)$ :

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ hoặc

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {3}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = lim_{x \to 3^{-}} (2 x + 1 + \frac{1}{x - 3}) = - \infty; lim_{x \to 3^{+}} f (x) = lim_{x \to 3^{+}} (2 x + 1 + \frac{1}{x - 3}) = + \infty$

Vậy $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $y = 2 x + 1 + \frac{1}{x - 3} = \frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{x - 3}$

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{x (x - 3)} = 2$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - 2 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{x - 3} - 2 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 2}{x - 3} = 1$

Vậy đường thẳng $y = 2 x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) Tập xác định: $D = R ∖ {5}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 5^{-}} f (x) = lim_{x \to 5^{-}} \frac{- 3 x^{2} + 16 x - 3}{x - 5} = - \infty; lim_{x \to 5^{+}} f (x) = lim_{x \to 5^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 16 x - 3}{x - 5} = + \infty$

Vậy $x = 5$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x^{2} + 16 x - 3}{x (x - 5)} = - 3$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) + 3 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{- 3 x^{2} + 16 x - 3}{x - 5} + 3 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 3}{x - 5} = 1$

Vậy đường thẳng $y = - 3 x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Tập xác định: $D = R ∖ {- \frac{1}{3}}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{-}} f (x) = lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{-}} \frac{- 6 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 1} = + \infty; lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{+}} f (x) = lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{+}} \frac{- 6 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 1} = - \infty$

Vậy $x = - \frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 6 x^{2} + 7 x + 1}{x (3 x + 1)} = - 2$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) + 2 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{- 6 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 1} + 2 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{9 x + 1}{3 x + 1} = 3$

Vậy đường thẳng $y = - 2 x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.