Giải bài 3 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho phương trình ({x^2} + x - 3 = 0) có hai nghiệm ({x_1},{x_2}). a) Tính giá trị của biểu thức (x_1^2 + x_2^2). b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là (frac{1}{{x_1^2}}) và (frac{1}{{x_2^2}}).

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ .

a) Tính giá trị của biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1}^{2}}$ và $\frac{1}{x_{2}^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chỉ ra phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ và viết định lí Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ .

a) Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ , từ đó tính được giá trị biểu thức.

b) + Tính $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}; \frac{1}{x_{1}^{2}} . \frac{1}{x_{2}^{2}}$ , từ đó viết được phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1}^{2}}$ và $\frac{1}{x_{2}^{2}}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $Δ = 1^{2} - 4.1. (- 3) = 13 > 0$ .

Do đó, phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ .

Theo định lí Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 3}{1} = - 3.$

a) Ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(- 1)}^{2} - 2. (- 3) = 7$

b) Ta có:

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{{(x_{1} x_{2})}^{2}} = \frac{7}{{(- 3)}^{2}} = \frac{7}{9}; \frac{1}{x_{1}^{2}} . \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{{(x_{1} x_{2})}^{2}} = \frac{1}{{(- 3)}^{2}} = \frac{1}{9} .$

Vậy phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{x_{1}^{2}}$ và $\frac{1}{x_{2}^{2}}$ làm nghiệm là $x^{2} - \frac{7}{9} x + \frac{1}{9} = 0$ .