Giải bài 3 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình $x^2+x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$.

a) Tính giá trị của biểu thức $x_1^2+x_2^2$.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_1^2}$ và $\frac{1}{x_2^2}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\Delta =1^2-\mathrm{4.1.}\left(-3\right)=13>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$.

Theo định lí Viète ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1;x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3.$

a) Ta có:

$x_1^2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(-1\right)}^2-2.\left(-3\right)=7$

b) Ta có:

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}=\frac{7}{{\left(-3\right)}^2}=\frac{7}{9};\frac{1}{x_1^2}.\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}=\frac{1}{{\left(-3\right)}^2}=\frac{1}{9}.$

Vậy phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{x_1^2}$ và $\frac{1}{x_2^2}$ làm nghiệm là $x^2-\frac{7}{9}x+\frac{1}{9}=0$.