Giải bài 3 trang 25

Tính: a) (intlimits_1^2 {frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} ); b) (intlimits_1^2 {frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} ); d) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {frac{{1 + {{sin }^2}x}}{{1 - {{cos }^2}x}}dx} ).

Đề bài

Tính:

a) $\int_{1}^{2} \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2}} d x$ ;

b) $\int_{1}^{2} \frac{x e^{x} + 1}{x} d x$ ;

c) $\int_{0}^{1} \frac{8^{x} + 1}{2^{x} + 1} d x$ ;

d) $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \sin^{2} x}{1 - \cos^{2} x} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng các công thức:

• $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

• $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

• $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ .

• $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int_{1}^{2} \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} (x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x} + x^{- 2}) d x = {(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln | x | - \frac{1}{x}) |}_{1}^{2} = \ln 2 + \frac{16}{3}$ .

b) $\int_{1}^{2} \frac{x e^{x} + 1}{x} d x = \int_{1}^{2} (e^{x} + \frac{1}{x}) d x = {(e^{x} + \ln | x |) |}_{1}^{2} = e^{2} - e + \ln 2$ .

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} \frac{8^{x} + 1}{2^{x} + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{2^{3 x} + 1}{2^{x} + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{(2^{x} + 1) (2^{2 x} - 2^{x} + 1)}{2^{x} + 1} d x = \int_{0}^{1} (4^{x} - 2^{x} + 1) d x \\ = {(\frac{4^{x}}{\ln 4} - \frac{2^{x}}{\ln 2} + x) |}_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2 \ln 2} \end{array}$

d) $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \sin^{2} x}{1 - \cos^{2} x} d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \sin^{2} x}{\sin^{2} x} d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{\sin^{2} x} + 1) d x = {(- \cot x + x) |}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = 1 + \frac{π}{4}$ .