Giải bài 3 trang 29

Đề bài

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + . . . + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ với $n \in N *$

a) Tính $S_{1}$ ; $S_{2}$ ; $S_{3}$ ; $S_{4}$ .

b) Dự đoán công thức tính $S_{n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với $n \geq p$

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = p$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết

a) $n = 1 \Rightarrow 4 n - 3 = 1; 4 n + 1 = 5 \Rightarrow S_{1} = \frac{1}{1.5} = \frac{1}{5}$ ;

$S_{2} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} = \frac{2}{9}$ ;

$S_{3} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} = \frac{3}{13}$ ;

b) Ta có:

$S_{1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4.1 + 1};$ $S_{2} = \frac{2}{4.2 + 1};$ $S_{3} = \frac{3}{4.3 + 1};$

Dự doán: $S_{n} = \frac{n}{4. n + 1}$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có $S_{1} = \frac{1}{4.1 + 1}$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$S_{k + 1} = \frac{k + 1}{4. (k + 1) + 1}$ hay $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{4 k + 5}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k} = \frac{k}{4. k + 1}$

Suy ra

$\begin{array}{l} S_{k + 1} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + . . . + \frac{1}{(4 k - 3) (4 k + 1)} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]} \\ = S_{k} + \frac{1}{(4 k + 1) (4 k + 5)} = \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{(4 k + 1) (4 k + 5)} \\ = \frac{k (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k + 5)} + \frac{1}{(4 k + 1) (4 k + 5)} \\ = \frac{4 k^{2} + 5 k + 1}{(4 k + 1) (4 k + 5)} = \frac{(4 k + 1) (k + 1)}{(4 k + 1) (4 k + 5)} = \frac{k + 1}{4 k + 5} \end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in N *$ .