Giải bài 3 trang 30

Đề bài

Chứng minh rằng $8^n>n^3$ với mọi $n\in N\ast$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $8^1>1^3$

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp $n=1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có: $8^k>k^3$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh $8^{k+1}>(k+1{)}^3$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$8^{k+1}>8k^3=k^3+3k^3+3k^3+k^3>k^3+3k^2+3k+1=(k+1{)}^3$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$.