Giải bài 3 trang 30 vở thực hành Toán 9 tập 2

Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình ({x^2} - 2x - 5 = 0). Không giải phương trình, hãy tính: a) (x_1^3 + x_2^3); b) (frac{1}{{x_1^2}} + frac{1}{{x_2^2}}).

Đề bài

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ ;

b) $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

b) Biến đổi $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{{(x_{1} x_{2})}^{2}}$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Viète, ta có: $x_{1} + x_{2} = 2; x_{1} . x_{2} = - 5$ .

a) Ta có:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2}) = (x_{1} + x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2}] = 38$

b) Ta có:

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{{(x_{1} x_{2})}^{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{{(x_{1} x_{2})}^{2}} = \frac{2^{2} - 2. (- 5)}{{(- 5)}^{2}} = \frac{14}{25}$ .