Giải bài 3 trang 32

Đề bài

Chứng minh rằng nếu $x>-1$ thì $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ với mọi $n\in N\ast$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $(1+x{)}^1=1+1.x$

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$

Giải sử mệnh đề đúng với $n=k$ nghĩa là có $(1+x{)}^k\ge 1+kx$

Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$

Thật vậy, ta có

$(1+x{)}^{k+1}=(1+x)(1+x{)}^k\ge (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+k{x}^2\ge 1+(k+1)x$

Do $1+x>0,k{x}^2\ge 0$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N\ast$.