Giải bài 3 trang 35

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

$\left(C\right):x^2+y^2+4x-2y-4=0.$

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số $k=2;$

b) qua phép vị tự tâm $I\left(1;1\right),$ tỉ số $k=-2.$

Lời giải chi tiết

Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+4x-2y-4=0$ có tâm A(–2; 1) và bán kính $R=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2-\left(-4\right)}=3$

a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua $V_{\left(O,2\right)}$

Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua $V_{\left(O,2\right)}$ và bán kính

Gọi $A^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ là ảnh của A qua $V_{\left(O,2\right)}$.

Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{OA}$ với $\overrightarrow{OA}=\left(-2;1\right)$ và $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2.(-2)=-4\\ y^{\prime }=2.1=2\end{array}$

Vì vậy $A^{\prime }\left(-4;2\right).$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36.$

b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua $V_{\left(I,-2\right)}.$

Khi đó $\left(C^{\prime \prime \prime }\right)$ có tâm ảnh của A qua $V_{\left(I,-2\right)}$ và bán kính $R^{\prime \prime }=\left|-2\right|.R=2.3=6.$

Gọi $A^{\prime \prime }\left(x^{\prime \prime };y^{\prime \prime }\right)$ là ảnh của A qua $V_{\left(I,-2\right)}.$

Suy ra $\overrightarrow{I{A}^{\prime }}=-2\overrightarrow{IA}$ với $\overrightarrow{I{A}^{\prime }}=\left({x^{\prime }}^{\prime }-1;{y^{\prime }}^{\prime }-1\right)$ và $\overrightarrow{IA}=\left(-3;0\right)$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }-1=\left(-2\right).(-3)\\ y^{\prime }-1=\left(-2\right).0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }=7\\ y^{\prime }=1\end{array}$

Suy ra tọa độ $A^{\prime \prime }\left(7;1\right).$

Vậy phương trình đường tròn (C”) là: ${\left(x-7\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=36.$