Giải bài 3 trang 37

Đề bài

Chứng minh $C_{n}^{0} 3^{n} + C_{n}^{1} 3^{n - 1} + . . . + C_{n}^{k} 3^{n - k} + . . . + C_{n}^{n - 1} 3 + C_{n}^{n}$

$= C_{n}^{0} 3 + C_{n}^{1} 3 + . . . + C_{n}^{k} 3^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} 3^{n - 1} + C_{n}^{n} {.3}^{n}$ với $0 \leq k \leq n, n \in N$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} . a^{n} . b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} . b^{1} + . . . + C_{n}^{k} a^{n - k} . b^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} a . b^{n - 1} + C_{n}^{n} . a^{0} . b^{n}$

Thay $a = 3, b = 1$ ta được

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(3 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} {.3}^{n} {.1}^{0} + C_{n}^{1} 3^{n - 1} {.1}^{1} + . . . + C_{n}^{k} 3^{n - k} {.1}^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} {3.1}^{n - 1} + C_{n}^{n} {.3}^{0} {.1}^{n} \\ \Rightarrow 4^{n} = C_{n}^{0} 3^{n} + C_{n}^{1} 3^{n - 1} + . . . + C_{n}^{k} 3^{n - k} + . . . + C_{n}^{n - 1} 3 + C_{n}^{n} \end{array}$

Thay $a = 1, b = 3$ ta được

$\begin{array}{l} {(1 + 3)}^{n} = C_{n}^{0} {.1}^{n} {.3}^{0} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} {.3}^{1} + . . . + C_{n}^{k} 1^{n - k} {.3}^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} {1.3}^{n - 1} + C_{n}^{n} {.1}^{0} {.3}^{n} \\ \Rightarrow 4^{n} = C_{n}^{0} 3 + C_{n}^{1} 3 + . . . + C_{n}^{k} 3^{k} + . . . + C_{n}^{n - 1} 3^{n - 1} + C_{n}^{n} {.3}^{n} \end{array}$

Suy ra điều phải chứng minh