Giải bài 3 trang 45

Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau: (P):x+y−z+3=0,(Q):2x+2y−2z+99=0,(R):3x+3y+6z+7=0(P):x+y−z+3=0,(Q):2x+2y−2z+99=0,(R):3x+3y+6z+7=0\left( P \right):x + y - z + 3 = 0,\left( Q \right):2x + 2y - 2z + 99 = 0,\left( R \right):3x + 3y + 6z + 7 = 0.

Đề bài

Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau:

$(P) : x + y - z + 3 = 0, (Q) : 2 x + 2 y - 2 z + 99 = 0, (R) : 3 x + 3 y + 6 z + 7 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai mặt phẳng $(α_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ và $(α_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó $(α_{1}) ∥ (α_{2}) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in R)$

$(α_{1}) ⊥ (α_{2}) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0 \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (1; 1; - 1)$ , mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (2; 2; - 2)$ , mặt phẳng $(R)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{3}} = (3; 3; 6)$ .

Ta có:

$\vec{n_{1}} = \frac{1}{2} \vec{n_{2}}$ và $3 \neq \frac{1}{2} .99$ nên $(P) ∥ (Q)$ .

$\vec{n_{1}} . \vec{n_{3}} = 1.3 + 1.3 + (- 1) .6 = 0$ nên $(P) ⊥ (R)$ .

$\vec{n_{2}} . \vec{n_{3}} = 2.3 + 2.3 + (- 2) .6 = 0$ nên $(Q) ⊥ (R)$ .