Giải bài 3 trang 48

Đề bài

Một công ty có ngân sách chi tiêu là $T$ đồng, nếu giữ tiền mặt $x$ đồng và đầu tư $\left(T-x\right)$ đồng thì sẽ có lợi nhuận là:

$f\left(x\right)=\frac{a\left(T-x\right)}{2}-\frac{bT}{x}$,

trong đó:

$x$: số tiền mặt cần giữ;

$a$: lãi suất đầu tư 30%;

$b$: chi phí mỗi lần rút tiền mặt 20,5%.

Tìm $x$ để $f\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $T=8$ tỉ đồng.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{30\%\left(8-x\right)}{2}-\frac{8.20,5\%}{x}=0,15\left(8-x\right)-\frac{1,64}{x}=1,2-0,15x-\frac{1,64}{x}$ trên $\left(0;8\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-0,15+\frac{1,64}{x^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff -0,15+\frac{1,64}{x^2}=0\iff x^2=\frac{164}{15}\iff x=\frac{2\sqrt{615}}{15}$ hoặc $x=-\frac{2\sqrt{615}}{15}$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left(0;8\right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(0;8\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(\frac{2\sqrt{615}}{15}\right)=\frac{30-\sqrt{615}}{25}$.

Vậy $x=\frac{2\sqrt{615}}{15}\approx 3,3$ (tỉ đồng) để $f\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất.