Giải bài 3 trang 48

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF $\left(D\in BC,E\in AC,F\in AB\right)$ cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$;

b) $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=1$.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC có CI là tia phân giác của góc ACD nên theo tính chất của đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AC}{DC}$, suy ra $\frac{AI}{AC}=\frac{ID}{DC}=\frac{AI+ID}{AC+DC}=\frac{DA}{AC+DC}$

Do đó, $\frac{AD}{ID}=\frac{AC+DC}{DC}$ (1)

Tam giác ADB có BI là tia phân giác của góc ABD nên theo tính chất của đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{DB}$, suy ra $\frac{AI}{AB}=\frac{ID}{DB}=\frac{AI+ID}{AB+BD}=\frac{DA}{AB+BD}$

Do đó, $\frac{AD}{ID}=\frac{AB+BD}{BD}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{AD}{DI}=\frac{AB+BD}{BD}=\frac{AC+DC}{CD}=\frac{AB+BD+AC+DC}{BD+CD}$

Do đó, $\frac{AD}{DI}=\frac{AB+BC+CA}{BC}$,

suy ra: $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$.

b) Tương tự phần a ta có:

$\frac{EI}{EB}=\frac{AC}{AB+BC+CA}$, $\frac{FI}{FC}=\frac{AB}{AB+BC+CA}$

Do đó, $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{AB+BC+CA}{AB+BC+CA}=1$