Giải bài 3 trang 48 vở thực hành Toán 8

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh AC = AF + CF = BF + DF = BD suy ra ABCD là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có EC = ED nên tam giác ECD cân tại E, suy ra $\hat{D_{2}} = \hat{C_{2}}$ (1)

Do AC ⊥ CE, BD ⊥ DE nên $\hat{D_{2}} = \hat{D_{2}} = \hat{B D E} = 90^{0}$ ,

$\hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = \hat{A C E} = 90^{0}$ (2)

Gọi F là giao điểm của AC và BD.

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{D_{1}} = \hat{C_{1}} \Rightarrow Δ D C F$ cân tại F.

$\Rightarrow D F = F C$ (3)

Do AB // CD nên $\hat{D_{1}} = \hat{B_{1}}, \hat{C_{1}} = \hat{A_{1}}$ (hai góc so le trong).

$\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{B_{1}} \Rightarrow Δ A B F$ cân tại F.

$\Rightarrow A F = B F$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC = AF + CF = BF + DF = BD.

Suy ra hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.