Giải bài 3 trang 55

Đề bài

Cho đường tròn (C) tâm $F_{1}$ , bán kính r và một điểm $F_{2}$ thỏa mãn $F_{1} F_{2} = 4 r$ .

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua $F_{2}$ và tiếp xúc với $(C)$ nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(M, R)$ đi qua $F_{2}$ và tiếp xúc với $(C)$

Ta có: $M F_{1} = R + r; M F_{2} = R \Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = r = 2 a$

$\Rightarrow M \in$ hypebol (H) có $2 c = F_{1} F_{2} = 4 r$ và $2 a = r$

b) Ta có: $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4 r^{2} - {(\frac{r}{2})}^{2} = \frac{15 r^{2}}{4}$

Phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{\frac{r^{2}}{4}} - \frac{y^{2}}{\frac{15 r^{2}}{4}} = 1$

Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{2 r}{\frac{r}{2}} = 4$