Giải bài 3 trang 64

Cho điểm (Gleft( {1;2;3} right)). Viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua (G) và cắt (Ox,Oy,Oz) lần lượt tại (A,B,C) sao cho (G) là trọng tâm của tam giác (ABC).

Đề bài

Cho điểm $G (1; 2; 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $G$ và cắt $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a, b, c \neq 0$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng $(P)$ cắt $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ .

$G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ nên ta có: ${\begin{cases} a + 0 + 0 = 3.1 \\ 0 + b + 1 = 3.2 \\ 0 + 0 + c = 3.3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases}$ .

Vậy $A (3; 0; 0), B (0; 6; 0), C (0; 0; 9)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0$ .