Giải bài 3 trang 71

Đề bài

Cho tam giác ABC có $A B = 6, A C = 7, B C = 8$ . Tính $\cos A, \sin A$ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$ .

Bước 2: Tính $\sin A$ , dựa vào $\cos A$ .

Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A}$ .

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{7^{2} + 6^{2} - 8^{2}}{2.7.6} = \frac{1}{4}$ .

Lại có: $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$

(do $0^{o} < A \leq 90^{o}$ )

$\Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{1}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{8}{2. \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16 \sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $\cos A = \frac{1}{4}$ ; $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ; $R = \frac{16 \sqrt{15}}{15}$ .