Giải bài 3 trang 75

Đề bài

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :

$\widehat{GMB}=\widehat{EMC}$(2 góc đối đỉnh)

GM = ME (do G đối xứng E qua M)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \Delta BGM=\Delta CEM(c-g-c)$

$\Rightarrow \widehat{GBM}=\widehat{MCE}$(2 góc tương ứng bằng nhau)

Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE

b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE

Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE

Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE

$\Rightarrow AF=\frac{2}{3}AI$(định lí về trọng tâm tam giác)

Mà AI = AF + FI $\Rightarrow$ FI = AI – AF

$\Rightarrow FI=AI-\frac{2}{3}AI=\frac{1}{3}AI$

$\Rightarrow 2FI=AF=\frac{2}{3}AI$

$\Rightarrow$ AF = 2 FI