Giải bài 3 trang 76

Cho tứ diện OABCOABCOABC có G(3;−3;6)G(3;−3;6)G\left( {3; - 3;6} \right) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm AAA thoả mãn −−→AB=(1;2;3)AB→=(1;2;3)\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right) và −−→AC=(−1;4;−2)AC→=(−1;4;−2)\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;4; - 2} \right).

Đề bài

Cho tứ diện $O A B C$ có $G (3; - 3; 6)$ là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm $A$ thoả mãn $\vec{A B} = (1; 2; 3)$ và $\vec{A C} = (- 1; 4; - 2)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ:

Nếu $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ thì $\vec{u} + \vec{v} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2})$ .

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử $A (a; b; c)$ .

$G$ là trọng tâm của tứ diện $O A B C$ $\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G O} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \vec{G A} + (\vec{G A} + \vec{A B}) + (\vec{G A} + \vec{A C}) + \vec{G O} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3 \vec{G A} + \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{G O} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3 \vec{G A} = - (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{G O}) \end{array}$

Ta có $G (3; - 3; 6) \Leftrightarrow \vec{O G} = (3; - 3; 6) \Leftrightarrow \vec{G O} = (- 3; 3; - 6)$

$\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{G O} = (1 + (- 1) + (- 3); 2 + 4 + 3; 3 + (- 2) + (- 6)) = (- 3; 9; - 5)$

Do đó $3 \vec{G A} = (3; - 9; 5) \Leftrightarrow \vec{G A} = (1; - 3; \frac{5}{3})$ .

Mặt khác $\vec{G A} = (a - 3; b + 3; c - 6)$

Khi đó ${\begin{cases} a - 3 = 1 \\ b + 3 = - 3 \\ c - 6 = \frac{5}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 4 \\ b = - 6 \\ c = \frac{23}{3} \end{cases}$

Vậy $A (4; - 6; \frac{23}{3})$ .