Giải bài 3 trang 78 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

LG a

a) Tam giác ABC có góc tù không?

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Từ đó suy ra các góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C} .$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \\ \Rightarrow {\begin{cases} \cos A = \frac{10^{2} + 13^{2} - 8^{2}}{2.10.13} = \frac{41}{52} > 0 \\ \cos B = \frac{8^{2} + 13^{2} - 10^{2}}{2.8.13} = \frac{133}{208} > 0 \\ \cos C = \frac{8^{2} + 10^{2} - 13^{2}}{2.8.10} = - \frac{1}{32} < 0 \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 91, 79^{\circ} > 90^{\circ}$ , tam giác ABC có góc C tù.

LG b

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Phương pháp giải:

+) Tính AM: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM:

$A M^{2} = A C^{2} + C M^{2} - 2. A C . C M . \cos C$

+) Tính diện tích:

Áp dụng công thức heron: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

+) Tính R: Áp dụng định lí sin: $\frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow R = \frac{c}{2 \sin C}$

Lời giải chi tiết:

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

$\begin{array}{l} A M^{2} = A C^{2} + C M^{2} - 2. A C . C M . \cos C \\ \Leftrightarrow A M^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2.8.5. (- \frac{1}{32}) = 91, 5 \\ \Rightarrow A M \approx 9, 57 \end{array}$

+) Ta có: $p = \frac{8 + 10 + 13}{2} = 15, 5$ .

Áp dụng công thức heron, ta có: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{15, 5. (15, 5 - 8) . (15, 5 - 10) . (15, 5 - 13)} \approx 40$

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{13}{2. \sin 91, 79^{\circ}} \approx 6, 5$

LG c

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD:

$B D^{2} = C D^{2} + C B^{2} - 2. C D . C B . \cos \hat{B C D}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\hat{B C D} = 180^{\circ} - 91, 79^{\circ} = 88, 21^{\circ}$ ; $C D = A C = 8$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

$\begin{array}{l} B D^{2} = C D^{2} + C B^{2} - 2. C D . C B . \cos \hat{B C D} \\ \Leftrightarrow B D^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10. \cos 88, 21^{\circ} \approx 159 \\ \Rightarrow B D \approx 12, 6 \end{array}$ .