Giải bài 3 trang 78

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng: a) DE vuông góc với BC b) BE vuông góc với DC

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC

b) BE vuông góc với DC

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Ta chứng minh vuông góc qua các tam giác vuông cân

- Ta chứng minh E là trực tâm của tam giác BCD

- Từ đó ta chứng minh DE vuông góc với BC và BE vuông góc DC

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A

$\Rightarrow$ $\hat{B} = \hat{C} = 45^{o}$ (2 góc ở đáy bằng nhau)

Xét tam giác AED có :

AE = AD

AC vuông góc với AB

$\Rightarrow$ Tam giác AED vuông cân tại A

$\Rightarrow \hat{A D E} = \hat{A E D} = 45^{o}$

Mà $\hat{A E D}; \hat{C E F}$ là 2 góc đối đỉnh $\Rightarrow \hat{A E D} = \hat{C E F} = 45^{o}$

Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :

$\Rightarrow \hat{F} + \hat{C} + \hat{E} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{F} = 180^{o} - 45^{o} - 45^{o} = 90^{o} \Rightarrow E F ⊥ B C \Rightarrow D E ⊥ B C$

b) Vì DE vuông góc với BC $\Rightarrow$ DE là đường cao của tam giác BCD

Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD)

$\Rightarrow$ BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

$\Rightarrow$ BE vuông góc với DC