Giải bài 3 trang 85

Cho tam giác ABC cân tại A có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a) Chứng minh rằng: - Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng; - Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC. b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng:

- Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng;

- Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất đường kính và dây cung chứng minh $O H ⊥ B C$ , $I H ⊥ B C$ và $A H ⊥ B C$ .

Chứng minh $Δ$ ACH $∽$ $Δ$ ADC suy ra R. Dựa vào tỉ số đồng dạng tìm r.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là chân đường cao hạ từ A.

Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Suy ra AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra BH = HC. Vậy $O H ⊥ B C$ (tính chất đường kính và dây cung).

Tương tự, ta có $I H ⊥ B C$ mà $A H ⊥ B C$ nên A, O, I, H thẳng hàng hay cùng thuộc một đường thẳng.

Ta có A, O, I, H thẳng hàng mà $O H ⊥ B C$ nên $O A ⊥ B C$ . Ta có AD là đường kính của đường tròn (O; OD) nên D cùng nằm trên đường thẳng A, I, O, H suy ra AD là đường trung trực của tam giác ABC. Vậy OA đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Do BC = 24 cm, AC = 20 cm nên ta có AH = $\sqrt{A C^{2} - H C^{2}}$ = 16 (cm).

Lại có $Δ$ ACH $∽$ $Δ$ ADC nên AC² = AH.AD, suy ra 20² = 16.AD hay AD = 25 cm.

Do đó R = AD : 2 = 12,5 cm.

Do BI là phân giác của góc ABH nên $\frac{I H}{I A} = \frac{B H}{B A} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Ta có $\frac{I H}{I A} = \frac{3}{5}$ hay $\frac{I H}{I H + I A} = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}$ , tức là $\frac{r}{16} = \frac{3}{8}$ . Vì vậy r = 6 cm.