Giải bài 3 trang 87

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $HC$, $CE$. Các đường thẳng $AM$, $AN$ cắt $HE$ tại $G$ và $K$.

a) Chứng minh tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật

b) Chứng minh $HG=GK=KE$

Lời giải chi tiết

a) Do $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $HE$ hay $HI=EI$

Tứ giác $AHCE$ có hai đường chéo $AC$ và $HE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ (gt) nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}={90}^{\circ }$ (do $AH$ là đường cao) nên hình bình hành $AHCE$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta AHC$ có $AM$, $HI$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta AHC$.

Suy ra: $HG=\frac{2}{3}HI;IG=\frac{1}{2}HG$

Chứng minh tưng tự đối với $\Delta AEC$ có $K$ là trọng tâm của $\Delta AEC$

Suy ra: $EK=\frac{2}{3}EI$ và $IK=\frac{1}{2}EK$

Ta có: $HG=\frac{2}{3}HI;EK=\frac{2}{3}EI$ mà $HI=EI$

Suy ra $HG=EK=\frac{2}{3}EI$

Mà $EI=\frac{1}{2}EH$

Suy ra $HG=EK=\frac{1}{3}HE$

Suy ra $GK=HE-HG-KE=HE-\frac{1}{3}HE-\frac{1}{3}HE=\frac{1}{3}HE$

Vậy $HG=GK=KE$