Giải bài 3 trang 87 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC 

Chứng minh rằng $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}$.

Lời giải chi tiết

Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC nên: $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$ (1), $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\widehat{ABC},\widehat{B^{\prime }{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=\widehat{BCA},\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{CAB}$ (2).

Hai tam giác A’B’M’ và ABM có:

$\frac{B^{\prime }{M}^{\prime }}{BM}=\frac{\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{B^{\prime }{A}^{\prime }}{BA}$ (theo (1)),

$\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }}=\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM}$

Suy ra $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }\backsim \Delta ABM$(c.g.c). Do đó $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$.

Tương tự, $\Delta B^{\prime }{C}^{\prime }{N}^{\prime }\backsim \Delta BCN$ và suy ra $\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC},\Delta C^{\prime }{A}^{\prime }{P}^{\prime }\backsim \Delta CAP$ và suy ra $\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$. Từ các đẳng thức trên và (1) ta suy ra $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}$.