Giải bài 3 trang 9

Tìm: a) (int {frac{{{{cos }^2}x}}{{1 - sin x}}dx} ); b) (int {left( {1 + 3{{sin }^2}frac{x}{2}} right)dx} ); c) (int {frac{{2{{cos }^3}x + 3}}{{{{cos }^2}x}}dx} ).

Đề bài

Tìm:

a) $\int \frac{\cos^{2} x}{1 - \sin x} d x$ ;

b) $\int (1 + 3 \sin^{2} \frac{x}{2}) d x$ ;

c) $\int \frac{2 \cos^{3} x + 3}{\cos^{2} x} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng biến đổi lượng giác.

‒ Sử dụng công thức:

• $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

• $\int \sin x d x = - \cos x + C$ .

• $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int \frac{\cos^{2} x}{1 - \sin x} d x = \int \frac{1 - \sin^{2} x}{1 - \sin x} d x = \int \frac{(1 - \sin x) (1 + \sin x)}{1 - \sin x} d x = \int (1 + \sin x) d x = x - \cos x + C$ .

b) $\int (1 + 3 \sin^{2} \frac{x}{2}) d x = \int (1 + 3. \frac{1 - \cos x}{2}) d x = \int (\frac{5}{2} - \frac{3}{2} \cos x) d x = \frac{5}{2} x - \frac{3}{2} \sin x + C$ .

c) $\int \frac{2 \cos^{3} x + 3}{\cos^{2} x} d x = \int (2 \cos x + \frac{3}{\cos^{2} x}) d x = 2 \sin x + 3 \tan x + C$ .