Giải bài 3 trang 9

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m^2+9\right)x^2+\left(m+6\right)x+1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) $f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+3x+1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) $f\left(x\right)=m{x}^2+\left(m+2\right)x+1$ là một tam thức bậc hai vô nghiệm

Lời giải chi tiết

a) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m^2+9\ne 0$ đúng với mọi $m\in R$

Mặt khác, tam thức trên có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\Delta =0$

hay ${\left(m+6\right)}^2-4.\left(m^2+9\right)=0\Rightarrow -3m^2+12m=0$ suy ra $m=0$ hoặc $m=4$

Vậy khi $m=0$ hoặc $m=4$ thì $f\left(x\right)=\left(m^2+9\right)x^2+\left(m+6\right)x+1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m-1\ne 0\iff m\ne 1$     (*)

Mặt khác, tam thức trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$

hay $3^2-4.\left(m-1\right)>0\Rightarrow -4m+13>0\iff m<\frac{13}{4}$        (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được $m\in \left(-\infty ;\frac{13}{4}\right)\setminus 1$

Vậy khi $m\in \left(-\infty ;\frac{13}{4}\right)\setminus 1$ thì $f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+3x+1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m\ne 0$           

Mặt khác, tam thức trên vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta <0$

hay ${\left(m+2\right)}^2-4m<0\Rightarrow m^2+4<0$

Ta có $m^2\ge 0\forall m\in R\Rightarrow m^2+4\ge 4>0\forall m\in R$,

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán