Giải bài 30 trang 100

Đề bài

Cho hình thoi $A B C D$ có $A B = 2$ cm, $\hat{A} = \frac{1}{2} \hat{B}$ . Các điểm $H, K$ thay đổi lần lượt trên cạnh $A D, C D$ sao cho $\hat{H B K} = 60^{\circ}$ .

a) Chứng minh $D H + D K$ không đổi

b) Xác định vị trí của các điểm $H, K$ để độ dài $H K$ ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất của hình thoi:

Trong một hình thoi:

- Các cạnh đối song song

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải chi tiết

a) Do $A B C D$ là hình thoi nên $A B = D A = 2 c m, \hat{A B D} = \hat{C D B} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$

Mà $\hat{B A D} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ , suy ra $\hat{B A D} = \hat{A B D}$ . Do đó tam giác $A B D$ cân tại $D$ . Suy ra $D A = D B$ .

Mà $A B = D A$ , suy ra $A B = D A = D B$ .

$Δ A B H = Δ D B K$ (g.c.g). Suy ra $A H = D K$ . Do đó $D H + D K = D H + A H = A D$ .

Vậy $D H + D K$ không đổi

b) Do $Δ A B H = Δ D B k$ nên $B H = B K$ .

Tam giác $B H K$ có $B H = B K$ và $\hat{H B K} = 60^{\circ}$ nên tam giác $B H K$ là tam giác đều.

Suy ra $H K = B H = B K$ .

Do đó, độ dài $H K$ ngắn nhất khi $B H$ và $B K$ ngắn nhất. Vậy $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $A D, C D$ .

Khi đó $Δ A B H = Δ D B H$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $A H = D H = \frac{A D}{2} = 1 c m$

Trong tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , ta có: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ . Suy ra ta tính được $B H = \sqrt{3} c m$ . Vậy độ dài ngắn nhất của $H K$ là $\sqrt{3}$ cm.