Giải bài 30 trang 70

Cho hình vuông ABCDABCDABCD cạnh bằng aaa. Lấy điểm EEE thuộc cạnh BCBCBC, điểm FFF thuộc cạnh ADADAD sao cho CE=AFCE=AFCE=AF. Các đường thẳng AE,BFAE,BFAE,BF cắt đường thẳng DCDCDC lần lượt tại MMM và NNN.

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ cạnh bằng $a$ . Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $B C$ , điểm $F$ thuộc cạnh $A D$ sao cho $C E = A F$ . Các đường thẳng $A E, B F$ cắt đường thẳng $D C$ lần lượt tại $M$ và $N$ . Các đường thẳng $N A, M B$ cắt nhau tại $K$ .

a) Chứng minh: $Δ K A B ∽ Δ K N M; Δ C E M ∽ Δ D A M; Δ N F D ∽ Δ N B C$ .

b) So sánh $C M . D N$ và $A B^{2}$ .

c) Các điểm $E, F$ lấy ở vị trí nào trên các cạnh $B C, A D$ thì $M N$ có độ dài nhỏ nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất của hai tam giác đồng dạng:

- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó

Nếu $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ thì $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Nếu $Δ A^{″} B^{″} C^{″} ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ thì $\hat{A} = \hat{A^{″}}, \hat{B} = \hat{B^{″}}, \hat{C} = \hat{C^{″}}$ .

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

a) Vì $A B / / M N$ nên $Δ K A B ∽ Δ K M N$ .

Vì $C E / / A D$ nên $Δ C E M ∽ Δ D A M$

Vì $D F / / B C$ nên $Δ N F D ∽ Δ N B C$ .

b) Vì $Δ C E M ∽ Δ B E A$ nên $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E}$ (1)

Vì $Δ N D F ∽ Δ B A F$ nên $\frac{A F}{F D} = \frac{B A}{D N}$ (2)

Từ (1) và (2) và $C E = A F, B E = D F$ , ta có $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E} = \frac{A F}{F D} = \frac{B A}{D N}$ .

Do đó $C M . D N = A B^{2}$ .

c) Ta có ${(C M - D N)}^{2} \geq 0$ , suy ra ${(C M + D N)}^{2} \geq 4 C M . D N$ hay $C M + D N \geq 2 \sqrt{C M . D N} = 2 A B$ . Do đó $M N = D N + C D + C M \geq 3 A B$ (vì $A B = C D$ ). Vậy $M N$ có độ dài nhỏ nhất bằng $3 A B$ . Dấu “=” xảy ra khi $C M = D N = a$ hay $E, F$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$ .