Giải bài 30 trang 71

Cho phương trình ({x^2} + left( {2m - 1} right)x - m = 0). a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi ({x_1};{x_2})là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức (A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x - m = 0$ .

a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tìm m để $Δ > 0$ .

b) Bước 1: Tìm tổng và tích của $x_{1}$ và $x_{2}$ .

Bước 2: Biến đổi $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2}$ để làm xuất hiện $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ .

Bước 3: Thay các giá trị $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ vào biểu thức vừa tìm được.

Bước 4: Biến đổi $A = B^{2} + k$ với $k > 0$ , chứng minh $A \geq k$ .

Bước 5: Biện luận để tìm GTNN của A và tìm m.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số $a = 1; b = 2 m - 1; c = - m$

Ta có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1. (- m) = 4 m^{2} + 1$

Mặt khác $4 m^{2} \geq 0; 1 > 0$ nên $Δ = {(2 m - 1)}^{2} + 4 > 0$ với mọi $m \in R$

Do $Δ > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = - 2 m + 1; x_{1} . x_{2} = - m$

Ta có:

$A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = {(- 2 m + 1)}^{2} - 3 (- m) = 4 m^{2} - m + 1 = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{16}$

Do ${(2 m - \frac{1}{4})}^{2} \geq 0; \frac{15}{16} > 0$ nên ${(2 m - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{16} \geq \frac{15}{16}$ hay $A \geq \frac{15}{16}$ với mọi $m \in R$

Dấu “=” xảy ra khi ${(2 m - \frac{1}{4})}^{2} = 0$ , suy ra $m = \frac{1}{8}$ .

Vậy A đạt GTNN bằng $\frac{15}{16}$ khi $m = \frac{1}{8}$ .