Giải bài 31 trang 102

Cho hình vuông ABCDABCDABCD có hai đường chéo ACACAC và BDBDBD cắt nhau tại OOO. Trên tia đối của tia CBCBCB lấy điểm KKK sao cho BC=CKBC=CKBC = CK.

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ có hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ . Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $K$ sao cho $B C = C K$ . Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $A C$ cắt tia $D C$ tại $E$ . Gọi $F$ là trung điểm của $B E$ .

a) Chứng minh các tứ giác $B O C F$ và $B D K E$ đều là hình vuông.

b) Tứ giác $C D O F$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình vuông:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác $A B C D$ là hình vuông suy ra $\hat{A C B} = 45^{\circ}, O B = O C, \hat{B O C} = \hat{D O C} = 90^{\circ}$ .

Ta có: $\hat{B O F} = \hat{D O C}$ (hai góc đồng vị) nên $\hat{O B F} = 90^{\circ}; \hat{C B E} = \hat{A C B}$ (hai góc so le trong) nên $\hat{C B E} = 45^{\circ}$ .

Từ đó ta chứng minh được tam giác $B D E$ vuông cân tại $B$ và tam giác $B C E$ vuông cân tại $C$ . Suy ra $B D = B E$ và $B C = E C$ .

$Δ B C F = Δ E C F$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\hat{B F C} = \hat{E F C} = 90^{\circ}$

Tứ giác $B O C F$ có $\hat{B O C} = \hat{O B F} = \hat{B F C} = 90^{\circ}$ nên $B O C F$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $B O C F$ có $O B = O C$ nên $B O C F$ là hình vuông.

Ta có: $B C = C D$ và $B C = C E$ nên $C D = C E$ .

Tứ giác $B D K E$ có hai đường chéo $B K$ và $D E$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $B D K E$ là hình bình hành.

Hình bình hành $B D K E$ có $\hat{D B E} = 90^{\circ}$ nên $B D K E$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $B D K E$ có $B D = B E$ nên $B D K E$ là hình vuông

b) Tứ giác $C D O F$ có $\hat{O D C} = 45^{\circ}$ nên $C D O F$ không thể là hình vuông.