Giải bài 31 trang 102

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ có hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ . Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $K$ sao cho $B C = C K$ . Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $A C$ cắt tia $D C$ tại $E$ . Gọi $F$ là trung điểm của $B E$ .

a) Chứng minh các tứ giác $B O C F$ và $B D K E$ đều là hình vuông.

b) Tứ giác $C D O F$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình vuông:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác $A B C D$ là hình vuông suy ra $\hat{A C B} = 45^{\circ}, O B = O C, \hat{B O C} = \hat{D O C} = 90^{\circ}$ .

Ta có: $\hat{B O F} = \hat{D O C}$ (hai góc đồng vị) nên $\hat{O B F} = 90^{\circ}; \hat{C B E} = \hat{A C B}$ (hai góc so le trong) nên $\hat{C B E} = 45^{\circ}$ .

Từ đó ta chứng minh được tam giác $B D E$ vuông cân tại $B$ và tam giác $B C E$ vuông cân tại $C$ . Suy ra $B D = B E$ và $B C = E C$ .

$Δ B C F = Δ E C F$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\hat{B F C} = \hat{E F C} = 90^{\circ}$

Tứ giác $B O C F$ có $\hat{B O C} = \hat{O B F} = \hat{B F C} = 90^{\circ}$ nên $B O C F$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $B O C F$ có $O B = O C$ nên $B O C F$ là hình vuông.

Ta có: $B C = C D$ và $B C = C E$ nên $C D = C E$ .

Tứ giác $B D K E$ có hai đường chéo $B K$ và $D E$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $B D K E$ là hình bình hành.

Hình bình hành $B D K E$ có $\hat{D B E} = 90^{\circ}$ nên $B D K E$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $B D K E$ có $B D = B E$ nên $B D K E$ là hình vuông

b) Tứ giác $C D O F$ có $\hat{O D C} = 45^{\circ}$ nên $C D O F$ không thể là hình vuông.