Giải bài 31 trang 58

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 2024}{2} = \frac{y + 2025}{3} = \frac{z + 2026}{6}$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z + 1 = 0$ . Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ .

a) Vectơ $\vec{u} = (2024; 2025; 2026)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ .

b) Vectơ có toạ độ $(1; 2; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

c) $\sin α = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |}$ với $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d, \vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

d) $α \approx 50^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3; 6)$ . Vậy a) sai.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; - 2)$ . Vậy b) sai.

Ta có: $\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |}$ . Vậy c) đúng.

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| 2.1 + 3. (- 2) + 6. (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{16}{21}$ .

Suy ra $α \approx 50^{\circ}$ . Vậy d) đúng.

a) S.

b) S.

c) Đ.

d) Đ.