Giải bài 31 trang 71

Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn (x + y + z = 5) và (xy + yz + xz = 8). Chứng tỏ rằng: (1 le x le frac{7}{3};1 le y le frac{7}{3};1 le z le frac{7}{3})

Đề bài

Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn $x + y + z = 5$ và $x y + y z + x z = 8$ .

Chứng tỏ rằng: $1 \leq x \leq \frac{7}{3}; 1 \leq y \leq \frac{7}{3}; 1 \leq z \leq \frac{7}{3}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Chứng minh $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$ .

Bước 1: Đặt $S = y + z; P = y z$

Bước 2: Biến đổi và biểu diễn S, P thông qua biến x.

Bước 3: Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: $X^{2} - S X + P = 0$ (điều kiện: $S^{2} - 4 P \geq 0$ ).

Bước 4: Ta chứng minh $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$ thông qua việc biện luận để giải phương trình $S^{2} - 4 P \geq 0$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $S = y + z; P = y z$

Suy ra: $S = y + z = 5 - x;$ $P = y z = 8 - x (y + z) = 8 - x (5 - x)$ .

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

$X^{2} - (5 - x) X + 8 - x (5 - x) = 0$

Điều kiện: $S^{2} - 4 P \geq 0$

hay ${(5 - x)}^{2} - 4. [8 - x (5 - x)] \geq 0$ ,

do đó $- 3 x^{2} + 10 x - 7 \geq 0$ ,

hay $3 x^{2} - 10 x + 7 \leq 0$ ,

suy ra $3 (x - 1) (x - \frac{7}{3}) \leq 0$ (*).

Vì $3 x^{2} - 10 x + 7 \leq 0$ và $x - 1 > x - \frac{7}{3}$ nên (*) suy ra $x - \frac{7}{3} \leq 0$ và $x - 1 \geq 0$ , do đó $x \leq \frac{7}{3}$ và $x \geq 1$

Vậy $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$ .

Tương tự ta chứng minh được $1 \leq y \leq \frac{7}{3}$ , $1 \leq z \leq \frac{7}{3}$ .