Giải bài 31 trang 74

Cho đường thẳng Δ:{x=4+ty=−1+2tΔ:{x=4+ty=−1+2t\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right. và điểm A(2 ; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

Đề bài

Cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 1 + 2 t \end{cases}$ và điểm A(2 ; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = $\sqrt{17}$

b) Tìm toạ độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tham số ∆

Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập biểu thức độ dài AM và AN

Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M và đánh giá biểu thức độ dài AN để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết

Lời giải chi tiết

Do $M, N \in Δ$ nên $M (4 + t; - 1 + 2 t)$ và $N (4 + k; - 1 + 2 k)$

a) Ta có: $\vec{A M} = (t + 2; 2 t - 2)$

Theo giả thiết, AM = $\sqrt{17}$ $\Rightarrow A M^{2} = 17 \Leftrightarrow (t + 2)^{2} + (2 t - 2)^{2} = 17$ $\Leftrightarrow 5 t^{2} - 4 t - 9 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{9}{5} \end{array}$

Với t = -1 thì $M (3; - 3)$

Với $t = \frac{9}{5}$ thì $M (\frac{29}{5}; \frac{13}{5})$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là $M (3; - 3)$ và $M (\frac{29}{5}; \frac{13}{5})$

b) Ta có: $\vec{A N} = (k + 2; 2 k - 2)$

$A N = \sqrt{{(k + 2)}^{2} + {(2 k - 2)}^{2}}$ $\Leftrightarrow A N^{2} = {(k + 2)}^{2} + (2 k - 2)^{2} \Leftrightarrow A N^{2} = 5 k^{2} - 4 k + 8$

AN nhỏ nhất $\Leftrightarrow A N^{2} = 5 k^{2} - 4 k + 8$ nhỏ nhất

Ta có: $5 k^{2} - 4 k + 8 = 5 {(k - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{44}{5}$ $\Rightarrow A N^{2} \geq \frac{44}{5} \Rightarrow A N \geq \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $k = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow N (\frac{22}{5}; - \frac{1}{5})$