Giải bài 31 trang 86

Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O.

Đề bài

Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng $\vec{A H}$ có độ dài không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh AH không đổi

Bước 1: Kẻ đường kính BD của đường tròn (O)

Bước 2: Chứng minh ADCH là hình bình hành (dấu hiệu tứ giác có các cặp cạnh song song)

Bước 3: Từ giả thiết bước 2 suy ra AH = DC rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính BD của đường tròn (O)

Ta có:

$\hat{B A D}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{B A D}$ = 90⁰ $\Rightarrow A D ⊥ A B$ (1)

Mặt khác, $C H ⊥ A B$ (giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD // CH (3)

Chứng minh tương tự ta được AH // CD (4)

Từ (3) và (4) suy ra ADCH là hình bình hành $\Rightarrow$ AH = DC

Mà DC không đổi nên AH không đổi

$\Rightarrow$ $\vec{A H}$ có độ dài không đổi