Giải bài 32 trang 102

Cho hình chữ nhật ABCDABCDABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc AAA và BBB cắt nhau tại EEE.

Đề bài

Cho hình chữ nhật $A B C D$ có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc $A$ và $B$ cắt nhau tại $E$ . Tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau tại $F$ . Gọi $G$ là giao điểm của $A E$ và $D F$ , $H$ là giao điểm của $B E$ và $C F$ . Chứng minh:

a) $G H / / C D$

b) Tứ giác $G F H E$ là hình vuông

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình vuông:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

Lời giải chi tiết

a) Do $A B C D$ là hình chữ nhật nên $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = 90^{\circ}$

Mà $A E, B E, C F, D F$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $D A B, A B C, B C D, C D A$ suy ra $\hat{D A E} = \hat{E A B} = \hat{A B E} = \hat{E B C} = \hat{B C F} = \hat{F C D} = \hat{C D F} = \hat{F D A} = 45^{\circ}$

Do đó, các tam giác $E A B, F C D, G A D, H B C$ đều là tam giác vuông cân.

$Δ G A D = Δ H B C$ (g.c.g). Suy ra $G D = H C$ . Mà $F D = F C$ , suy ra $F G = F H$ .

Do đó, tam giác $F G H$ vuông cân tại $F$ . Suy ra $\hat{F G H} = 45^{\circ}$ .

Ta có: $\hat{F G H} = \hat{C D F} = 45^{\circ}$ và $\hat{F G H}, \hat{C D F}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $G H / / C D$ .

b) $\hat{E G F} = \hat{A G D} = 90^{\circ}$ (hai góc đối đỉnh)

Tứ giác $G F H E$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $G F H E$ có $F G = F H$ nên $G F H E$ là hình vuông.