Giải bài 32 trang 116

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O), hai tiếp tuyến đó cắt nhau tại M.

a) Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB nếu $\widehat{AMB}={40}^{\circ }$.

b) Tính diện tích của tứ giác OAMB theo R nếu số đo cung nhỏ AB bằng 120⁰.

Lời giải chi tiết

a) Do MA, MB là 2 tiếp tuyến của (O) nên $MA\perp OA,MB\perp OB$, hay $\hat{A}=\hat{B}={90}^{\circ }$.

Xét tứ giác OAMB có $\hat{A}+\widehat{AOB}+\hat{B}+\widehat{AMB}={360}^{\circ }$, do đó

$\widehat{AOB}={360}^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}+\widehat{AMB}\right)={360}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{90}^{\circ }+{40}^{\circ }\right)={140}^{\circ }.$

Ta có số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$, bằng ${140}^{\circ }$;

Số đo cung lớn AB là ${360}^{\circ }-{140}^{\circ }={220}^{\circ }$.

b) Số đo cung nhỏ AB là 120⁰ nên $\widehat{AOB}={120}^{\circ }$.

Do MA, MB là 2 tiếp tuyến của (O) nên OA là tia phân giác của góc AOB,

do đó $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{{120}^{\circ }}{2}={60}^{\circ }$.

Xét tam giác OMA vuông tại A, ta có

$MA=AO.\tan \widehat{AOM}=R.\tan {60}^{\circ }=R\sqrt{3}$

Diện tích tam giác OMA là

$S_{OMA}=\frac{1}{2}MA.AO=\frac{1}{2}R\sqrt{3}.R=\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}$.

Xét tam giác OMB vuông tại B, ta có

$MB=BO.\tan \widehat{BOM}=R.\tan {60}^{\circ }=R\sqrt{3}$.

Diện tích tam giác OMB là

$S_{OMB}=\frac{1}{2}MB.BO=\frac{1}{2}R\sqrt{3}.R=\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}$.

Diện tích AMBO là:

$S_{AMBO}=S_{OMA}+S_{OMB}=\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}+\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}=\sqrt{3}{R}^2$.