Giải bài 32 trang 18

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + 1 + \frac{1}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng:

A. 2.

B. $\frac{5}{2}$ .

C. $\frac{10}{3}$ .

D. ‒2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $y^{'} = 1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Khi đó, trên đoạn $[1; 2]$ , $y^{'} = 0$ không có nghiệm.

$y (1) = \frac{5}{2}; y (2) = \frac{10}{3}$ .

Vậy $min_{[1; 2]} y = \frac{5}{2}$ tại $x = 1$ .

Chọn B.