Giải bài 33 trang 102

Cho hình bình hành ABCDABCDABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEFABEFABEF và ADGHADGHADGH (Hình 26). Chứng minh:

Đề bài

Cho hình bình hành $A B C D$ . Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông $A B E F$ và $A D G H$ (Hình 26). Chứng minh:

a) $Δ A H F = Δ A D C$

b) $A C ⊥ H F$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác và tính chất của hình vuông:

Trong một hình vuông,

- Các cạnh đối song song

- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải chi tiết

Gọi $K$ là giao điểm của $A C$ và $H F$

a) Do $A B E F$ và $A D G H$ đều là hình vuông nên $\hat{B A F} = \hat{D A H} = 90^{\circ}, A H = B A, A H = D A$

Do $A B C D$ là hình bình hành nên $B A = D C$ . Suy ra $A F = D C$

Ta chứng minh được $\hat{H A F} + \hat{D A B} = 180^{\circ}$ và $\hat{A D C} + \hat{D A B} = 180^{\circ}$

Suy ra $\hat{H A F} = \hat{A D C}$

Xét hai tam giác $H A F$ và $A D C$ , ta có: $A H = D A, \hat{H A F} = \hat{A D C}, A F = D A$

Suy ra $Δ H A F = Δ A D C$ (c.g.c)

b) Ta có: $\hat{H A K} + \hat{D A H} + \hat{D A C} = \hat{C A K} = 180^{\circ}$ và $\hat{D A H} = 90^{\circ}$ nên $\hat{H A K} + \hat{D A C} = 90^{\circ}$

Mà $\hat{A H F} = \hat{D A C}$ (vì $Δ H A F = Δ A D C$ ), suy ra $\hat{H A K} + \hat{A H F} = 90^{\circ}$

Trong tam giác $A H K$ , ta có: $\hat{A K H} + \hat{H A K} + \hat{A H F} = 180^{\circ}$ . Suy ra $\hat{A K H} = 90^{\circ}$

Vậy $A K ⊥ H K$ hai $A C ⊥ H F$ .