Giải bài 33 trang 57

Đề bài

Tìm $m$ để phương trình $-x^2+\left(m+2\right)x+2m-10=0$ có nghiệm

Lời giải chi tiết

Hàm số $-x^2+\left(m+2\right)x+2m-10=0$ có:

 $\begin{array}{c}a=-1\ne 0,b=m+2,c=2m-10\\ \Rightarrow \Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(-1\right)\left(2m-10\right)\end{array}$

+ Phương trình $f\left(x\right)=-x^2+\left(m+2\right)x+2m-10=0$ có nghiệm $\iff \Delta \ge 0$

$\iff m^2+12m-36\ge 0$

+ Giải bất phương trình $m^2+12m-36\ge 0$

Tam thức bậc hai $x^2+12x-36$ có hai nghiệm $x_1=-6-6\sqrt{2};x_2=-6+6\sqrt{2}$ và có hệ số $a=1>0$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $x^2+12x-36$ mang dấu “+” là $\left(-\infty ;-6-6\sqrt{2}\right]\cup \left[-6+6\sqrt{2};+\infty \right)$

Do đó tập nghiệm của BPT $m^2+12m-36\ge 0$ là $\left(-\infty ;-6-6\sqrt{2}\right]\cup \left[-6+6\sqrt{2};+\infty \right)$

Vậy $m\in \left(-\infty ;-6-6\sqrt{2}\right]\cup \left[-6+6\sqrt{2};+\infty \right)$ thì phương trình trên có nghiệm