Giải bài 33 trang 59

Cho đường thẳng ΔΔ\Delta có phương trình tham số: ⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4+tz=5−2t{x=2−3ty=4+tz=5−2t\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 + t\\z = 5 - 2t\end{array} \right. (ttt là tham số). a) Tìm toạ độ của điểm MMM thuộc đường thẳng ΔΔ\Delta , biết MMM có hoành độ bằng 5. b) Chứng minh rằng điểm N(8;2;

Đề bài

Cho đường thẳng $Δ$ có phương trình tham số: ${\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 4 + t \\ z = 5 - 2 t \end{cases}$ ( $t$ là tham số).

a) Tìm toạ độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $Δ$ , biết $M$ có hoành độ bằng 5.

b) Chứng minh rằng điểm $N (8; 2; 9)$ thuộc đường thẳng $Δ$ .

c) Chứng minh rằng điểm $P (- 1; 5; 4)$ không thuộc đường thẳng $Δ$ . Lập phương trình tham số của đường thẳng $Δ^{'}$ , biết $Δ^{'}$ đi qua $P$ và song song với $Δ$ .

d) Tìm toạ độ của điểm $I$ , biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P) : x - y + z + 9 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

‒ Cách tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ .

Bước 1: Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $Δ$ nên $I (x_{0} + a t; y_{0} + b t; z_{0} + c t)$ .

Bước 2: $I \in (P)$ nên ta có: $A (x_{0} + a t) + B (y_{0} + b t) + C (z_{0} + c t) + D = 0$ .

Bước 3: Giải phương trình tìm $t$ và thay vào $I$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì $M$ thuộc đường thẳng $Δ$ nên $M (2 - 3 t; 4 + t; 5 - 2 t) (t \in R)$ .

Ta có: $2 - - 3 t = 5$ , suy ra $t = - 1$ . Do đó ${\begin{cases} y_{M} = 4 + t = 4 + (- 1) = 3 \\ z_{M} = 5 - 2 t = 5 - 2. (- 1) = 7 \end{cases}$ .

Vậy $M (5; 3; 7)$ .

b) Xét hệ: ${\begin{cases} 8 = 2 - 3 t \\ 2 = 4 + t \\ 9 = 5 - 2 t \end{cases}$ . Suy ra $t = - 2$ . Do đó tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm $N (8; 2; 9)$ thuộc đường thẳng $Δ$ .

c) Xét hệ: ${\begin{cases} - 1 = 2 - 3 t \\ 5 = 4 + t \\ 4 = 5 - 2 t \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t = 1 \\ t = 1 \\ t = \frac{1}{2} \end{cases}$ . Do đó không tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm $P (- 1; 5; 4)$ không thuộc đường thẳng $Δ$ .

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 3; 1; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ^{'}$ song song với $Δ$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 3; 1; - 2)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ^{'}$ là: ${\begin{cases} x = - 1 - 3 t^{'} \\ y = 5 + t^{'} \\ z = 4 - 2 t^{'} \end{cases}$ ( $t^{'}$ là tham số).

d) Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $Δ$ nên $I (2 - 3 t; 4 + t; 5 - 2 t)$ .

$I \in (P)$ nên ta có: $(2 - 3 t) - (4 + t) + (5 - 2 t) + 9 = 0$ . Suy ra $t = 2$ .

Vậy $I (- 4; 6; 1)$ .