Giải bài 34 trang 102

Cho tam giác ABCABCABC có các đường trung tuyến BD,CEBD,CEBD,CE cắt nhau tại GGG. Gọi F,HF,HF,H lần lượt là trung điểm của BG,CGBG,CGBG,CG.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có các đường trung tuyến $B D, C E$ cắt nhau tại $G$ . Gọi $F, H$ lần lượt là trung điểm của $B G, C G$ .

a) Tứ giác $E F H D$ là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tam giác $A B C$ để tứ giác $E F H D$ là hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành và hình vuông để xác định tứ giác $E F H D$

Lời giải chi tiết

a) Do $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $D G = \frac{1}{2} B G, E G = \frac{1}{2} C G$ . Mà $F, H$ lần lượt là trung điểm của $B G, C G$ nên $D G = B F = F G, E G = C H = H G$ .

Tứ giác $E F H G$ có hai đường chéo $E H$ và $D F$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $E F H G$ là hình bình hành.

b) Để hình bình hành $E F H G$ là hình vuông thì $E H = D F$ và $E H ⊥ D F$

suy ra $B G = C G, E G = D G$ và $B D ⊥ C E$ .

$Δ B E G = Δ C D G$ (c.g.c). Suy ra $B E = C D$ . Mà $A B = 2 B E, A C = 2 C D$ , suy ra $A B = A C$ .

Dễ thấy nếu $A B = A C$ và $B D ⊥ C E$ thì tứ giác $E F H G$ là hình vuông.

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $B D$ , $C E$ vuông góc với nhau thì tứ giác $E F H G$ là hình vuoogn.