Giải bài 34 trang 59

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ΔΔ\Delta trong mỗi trường hợp sau: a) ΔΔ\Delta đi qua điểm A(2;−5;7)A(2;−5;7)A\left( {2; - 5;7} \right) và có vectơ chỉ phương →u=(−2;3;4)u→=(−2;3;4)\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right); b) ΔΔ\Delta đi qua hai điểm M(−1;0;4)

Đề bài

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ$ đi qua điểm $A (2; - 5; 7)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 3; 4)$ ;

b) $Δ$ đi qua hai điểm $M (- 1; 0; 4)$ và $N (2; 5; 3)$ .

c) $Δ$ đi qua điểm $B (3; 2; - 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : 2 x - 5 y + 6 z - 7 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

‒ Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

‒ Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua điểm $A (2; - 5; 7)$ và nhận $\vec{u} = (- 2; 3; 4)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = - 5 + 3 t \\ z = 7 + 4 t \end{cases}$ .

Đường thẳng đi qua điểm $A (2; - 5; 7)$ và nhận $\vec{u} = (- 2; 3; 4)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z - 7}{4}$ .

b) Ta có $\vec{M N} = (3; 5; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ .

Đường thẳng đi qua điểm $M (- 1; 0; 4)$ và nhận $\vec{M N} = (3; 5; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 5 t \\ z = 4 - t \end{cases}$ .

Đường thẳng đi qua điểm $M (- 1; 0; 4)$ và nhận $\vec{M N} = (3; 5; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z - 4}{- 1}$ .

c) Mặt phẳng $(P) : 2 x - 5 y + 6 z - 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 5; 6)$ .

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên $\vec{n} = (2; - 5; 6)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ .

Đường thẳng đi qua điểm $B (3; 2; - 1)$ và nhận $\vec{n} = (2; - 5; 6)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = - 1 + 6 t \end{cases}$ .

Đường thẳng đi qua điểm $B (3; 2; - 1)$ và nhận $\vec{n} = (2; - 5; 6)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z + 1}{6}$ .