Giải bài 35 trang 59

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \frac{x + 7}{5} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 2}{- 2}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 5 - 3 t \\ y = - 10 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases}$ (với $t$ là tham số);

b) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 2 + 5 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}$ (với $t$ là tham số) và $Δ_{2} : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{- 6}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x}{3} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{- 6} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 1}{6}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ với: $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$ và $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$ :

• $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] \neq \vec{0} \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau nếu $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} \neq 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (- 7; 1; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (5; - 7; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (- 5; - 10; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 3; - 4; 7)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 57; - 29; - 41), \vec{M_{1} M_{2}} = (2; - 11; 5)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = - 57.2 - 29. (- 11) - 41.5 = 0$ . Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (- 2; 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (5; - 1; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (- 2; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (4; 5; - 6)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 9; 42; 29), \vec{M_{1} M_{2}} = (0; 0; 1)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = - 9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 \neq 0$ . Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (0; - 5; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; 2; - 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (1; 3; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 6; - 4; 6)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (0; 0; 0) = \vec{0}, \vec{M_{1} M_{2}} = (1; 8; 0)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] = (24; - 3; 22) \neq \vec{0}$ . Vậy $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .